ヘロンの公式(Hearons Theorem)は教科書などでは、余弦定理で証明されていますが、内心と傍心を使って図形的に証明することも可能です。その昔、少し勉強したことを紹介します。 ( ファイルはこちらからPDF / Tex )
\( \rm \triangle ABC \)において、\(s=a+b+c\)としたとき、面積を\(S\) は以下の式で表すことができる。
$$
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$
[証明]
\(\rm \triangle ABC\)に内接円をかき、その半径を\(r\)とする。図１のように、接点でそれぞれの辺を分割し、\(a=y+z\)、\(b=x+z\)、\(c=x+y\)とする。
\(\rm \triangle ABC\)の面積は、
$$S=r(x+y+z)\qquad \cdots\cdots(1)$$
と表すことができる。
図3のように傍接円をかく。傍心を\(\rm O_2\)、その半径を\(\rm R\)とする。
\(\rm O_2\)から三辺へ垂線を下し、その足を\(X,\,Y,\,Z\)とする。
\(\rm AY=AW, \quad CX=CW\) となるので\(\rm BX+BY\)は\(\rm \triangle ABC\)の周の長さと等しくなる。
また\(\rm BY=BX\)であるので、以下の式が成り立つ。
$$
\begin{cases}
AY=z \\
CX=x
\end{cases}
\qquad\cdots\cdots(2)
$$
図4で、相似な三角形\(\rm \triangle O_2 BX\)と\(\rm \triangle O_1 BL\)であるから,
$$
(x+y+z):R=y:r
$$
$$
r(x+y+z)=yR \qquad \cdots\cdots(3)
$$
図5で\(\rm CO_1\)と\(\rm CO_2\)は角の二等分線なので、\(\rm O_1CO_2=90^\circ\)。
したがって、\(\rm \triangle O_1LC\)と\(\rm \triangle CXO_2\)は相似となる。
$$
z:r=R:x
$$
$$
rR=xz \qquad \cdots\cdots(4)
$$
さて、(3)式と(4)式を辺々掛けると
$$
r^2R(x+y+z)=xyzR
$$
\(R\)で割り、両辺に\((x+y+z)\)を掛けると、
$$
r^2(x+y+z)^2=(x+y+z)xyz
$$
(1)式により、左辺は\(S^2\)となるから、
$$
S^2=(x+y+z)xyz\qquad \cdots\cdots(5)
$$
ここで、\(s=x+y+z\)とすると、図１より、
$$
s=a+x,\quad s=b+y, \quad s=c+z
$$
$$
x=s-a,\quad y=s-b,\quad z=s-c
$$
であるから、 式(5)は以下のように書き直すことができる。
$$
S^2=s(s-a)(s-b)(s-c)
$$
\(S,\,s,\,a,\,b,\,c\)はいずれも正であるので、
$$
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$
