二重根号について調べているとWikipediaに二重根号が外れるときの条件についての記載がありました。不勉強なもので今回初めてこのような条件を知りました。簡単に紹介すると、
$$
\sqrt{a\pm b \sqrt c}=\sqrt d \pm \sqrt e\qquad a,b,c,d,e \in \mathbb Q
$$
の成立を仮定すると、両辺を2乗して、
$$
a\pm b \sqrt c = (d+e)\pm 2 \sqrt{de}
$$
この式で有理数同士、無理数同士が等しいので、
$$
a=d+e,\qquad b\sqrt c=2\sqrt{de}
$$
2つ目の式は両辺を2乗してやると、\( de=\frac{b^2 c}4 \)となる。すると、\( d,\:e \)という２数は和が\(a \) 、積が\( \frac{b^2 c}4 \) となるので、方程式\( \; t^2-at+\frac{b^2c}4=0\;\)の解となる。この方程式を解くと、
$$
t=\frac{a\pm \sqrt{a^2-b^2 c}}{2}
$$
\(d,\;e\)は有理数であるとしたので、上記のルートの中が平方数でなければならない。したがって、\(\sqrt{a\pm b \sqrt c}\)の二重根号が簡略化される条件は、\(a^2-b^2 c\;\)が平方数であることになります。
例えば、\( \sqrt{7+2\sqrt{10}} \; \)は、\(a^2-b^2 c=49-4\times 10=9\;\)となるので、２重根号は外れます。
\( \sqrt{8+2\sqrt{10}} \; \)は、\(a^2-b^2 c=64-4\times 10=24\;\)となるので、２重根号は外れません。
それぞれの値は以下のとおりです。２重根号が外れようと外れまいと値は存在します。
この条件の存在を知った上で教科書の問題を見れば、\(a^2-b^2 c\;\)が\(\,1,\,4,\,9,\,16\,\)のいずれかになっていることが分かります。二重根号が外れるのは極めて稀なケースだということがよく分かりました。Wikipediaに感謝。
